ORIGEN DEL CÁLCULO
EL CÁLCULO ES EL RESULTADO DE UNA DRAMÁTICA LUCHA
INTELECTUAL QUE HA DURADO LOS ULTIMOS VEINTICINCO SIGLOS.
-RICHARD COURANT-
EL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ES UNA
HERRAMIENTA MATEMÁTICA QUE SURGIÓ EN EL SIGLO XVII PARA RESOLVER ALGUNOS
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA Y DE FÍSICA. EL PROBLEMA DE HALLAR UNA RECTA TANGENTE A
LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO DADO Y LA NECESIDAD DE EXPLICAR
RACIONALMENTE LOS FENÓMENOS DE LA ASTRONOMÍA O LA RELACIÓN ENTRE DISTANCIA,
TIEMPO, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN, ESTIMULARON LA INVENCIÓN Y EL DESARROLLO DE
LOS MÉTODOS DEL CÁLCULO.
INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO:
LA PALABRA CÁLCULO PROVIENE DEL LATÍN CALCULUS,
QUE SIGNIFICA CONTAR CON PIEDRAS. PRECISAMENTE DESDE QUE EL HOMBRE VE LA
NECESIDAD DE CONTAR, COMIENZA LA HISTORIA DEL CÁLCULO, O DE LAS MATEMÁTICAS.
LAS MATEMÁTICAS SON UNA DE LAS CIENCIAS MÁS
ANTIGUAS, Y MÁS ÚTILES. EL CONCEPTO DE MATEMÁTICAS, SE COMENZÓ A FORMAR, DESDE
QUE EL HOMBRE VIO LA NECESIDAD DE CONTAR OBJETOS, ESTA NECESIDAD LO LLEVÓ A LA
CREACIÓN DE SISTEMAS DE NUMERACIÓN QUE INICIALMENTE SE COMPONÍAN CON LA
UTILIZACIÓN DE LOS DEDOS, PIERNAS, O PIEDRAS. DE NUEVO, POR LA NECESIDAD, SE
HIZO FORZOSA LA IMPLEMENTACIÓN DE SISTEMAS MÁS AVANZADOS Y QUE PUDIERAN
RESOLVER LA MAYORÍA DE LOS PROBLEMAS QUE SE PRESENTABAN CON CONTINUIDAD.
HISTORIA DEL CÁLCULO INTEGRAL Y
DIFERENCIAL
EL ORIGEN DEL CÁLCULO INTEGRAL SE REMONTA A LA ÉPOCA DE ARQUÍMEDES
(287-212 A.C.), MATEMÁTICO GRIEGO DE LA ANTIGÜEDAD, QUE OBTUVO RESULTADOS TAN
IMPORTANTES COMO EL VALOR DEL ÁREA ENCERRADA POR UN SEGMENTO PARABÓLICO. LA
DERIVADA APARECIÓ VEINTE SIGLOS DESPUÉS PARA RESOLVER OTROS PROBLEMAS QUE EN
PRINCIPIO NO TENÍAN NADA EN COMÚN CON EL CÁLCULO INTEGRAL. EL DESCUBRIMIENTO
MÁS IMPORTANTE DEL CÁLCULO INFINITESIMAL (CREADO POR BARROW, NEWTON Y LEIBNIZ)
ES LA ÍNTIMA RELACIÓN ENTRE LA DERIVADA Y LA INTEGRAL DEFINIDA, A PESAR DE
HABER SEGUIDO CAMINOS DIFERENTES DURANTE VEINTE SIGLOS. UNA VEZ CONOCIDA LA
CONEXIÓN ENTRE DERIVADA E INTEGRAL (TEOREMA DE BARROW), EL CÁLCULO DE
INTEGRALES DEFINIDAS SE HACE TAN SENCILLO COMO EL DE LAS DERIVADAS.
EL CONCEPTO DE CÁLCULO Y SUS RAMIFICACIONES SE
INTRODUJO EN EL SIGLO XVIII, CON EL GRAN DESARROLLO QUE OBTUVO EL ANÁLISIS
MATEMÁTICO, CREANDO RAMAS COMO EL CÁLCULO DIFERENCIAL, INTEGRAL Y DE
VARIACIONES.
ANTECEDENTES
HISTORICOS DEL CALCULO DIFERENCIAL
EL CÁLCULO DIFERENCIAL SE ORIGINÓ EN EL SIGLO XVII
AL REALIZAR ESTUDIOS SOBRE EL MOVIMIENTO; ES DECIR AL ESTUDIAR LA VELOCIDAD DE LOS CUERPOS AL CAER AL
VACÍO YA QUE CAMBIA DE UN MOMENTO A
OTRO, LA VELOCIDAD EN CADA INSTANTE DEBE CALCULARSE TENIENDO ENCUENTRA LA
DISTANCIA QUE RECORRE EN UN TIEMPO INFINITESIMALMENTE Y PEQUEÑO.
EL CÁLCULO DIFERENCIAL FUE DESARROLLADO POR LOS
TRABAJOS DE FERMAT, BARROW, WALLIS Y NEWTON ENTRE OTROS. ASÍ EN 1711 NEWTON
INTRODUJO LA FÓRMULA DE INTERPOLACIÓN DE DIFERENCIAS FINITAS DE UNA FUNCIÓN
F(X); FÓRMULA EXTENDIDA POR TAYLOR AL CASO DE INFINITOS TÉRMINOS BAJO CIERTAS
RESTRICCIONES, UTILIZANDO DE FORMA PARALELA EL CÁLCULO DIFERENCIAL Y EL CÁLCULO
EN DIFERENCIAS FINITAS. EL APARATO FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO DIFERENCIAL ERA EL
DESARROLLO DE FUNCIONES EN SERIES DE POTENCIAS, ESPECIALMENTE A PARTIR DEL
TEOREMA DE TAYLOR, DESARROLLÁNDOSE CASI TODAS LAS FUNCIONES CONOCIDAS POR LOS
MATEMÁTICOS DE LA ÉPOCA. PERO PRONTO SURGIÓ EL PROBLEMA DE LA CONVERGENCIA DE
LA SERIE, QUE SE RESOLVIÓ EN PARTE CON LA INTRODUCCIÓN DE TÉRMINOS RESIDUALES,
ASÍ COMO CON LA TRANSFORMACIÓN DE SERIES EN OTRAS QUE FUESEN CONVERGENTES.
JUNTO A LAS SERIES DE POTENCIAS SE INCLUYERON NUEVOS TIPOS DE DESARROLLOS DE
FUNCIONES, COMO SON LOS DESARROLLOS EN SERIES ASINTÓTICAS INTRODUCIDOS POR
STIRLING Y EULER. LA ACUMULACIÓN DE RESULTADOS DEL CÁLCULO DIFERENCIAL
TRANSCURRIÓ RÁPIDAMENTE, ACUMULANDO CASI TODOS LOS RESULTADOS QUE CARACTERIZAN
SU ESTRUCTURA ACTUAL.
PARA LLEGAR AL ORIGEN DEL CALCULO DIFERENCIAL VARIOS CIENTÍFICOS TUVIERON QUE
APORTAR ALGO, ALGUNOS DE ELLOS
MENCIONAREMOS ENSEGUIDA:
GOTTFRIED LEIBNZ: REALIZO INVESTIGACIONES SIMILARES E IDEANDO SÍMBOLOS MATEMÁTICOS QUE SE APLICAN
HASTA NUESTROS DÍAS
Ø DESCUBRIÓ Y COMENZÓ A DESARROLLAR EL CÁLCULO DIFERENCIAL EN 1675. SU PRIMERA PUBLICACIÓN
SOBRE EL TEMA FUE EN 1684.
Ø INVENTO
SÍMBOLOS MATEMÁTICOS PARA LA DERIVADA Y LA INTEGRAL.
Ø FUE EL PRIMERO EN USAR EL TÉRMINO “FUNCIÓN” Y EL
USO DE SÍMBOLO PARA LA IGUALDAD.
NICOLAS ORESME: ESTABLECIO QUE EN LA PROXIMIDAD
DEL PUNTO DE UNA CURVA QUE LA ORDENADA SE CONSIDERA “MÁXIMO Y MINIMOS “, LOS
TANGENTES Y LAS CUADRATURAS IGUALAR A
CERO DE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN, DEBIDO A QUE LA TANGENTE DE LA CURVA DE LOS
PUNTOS EN QUE LA FUNCIÓN TIENE SU MÁXIMO O SU MINIMO, LA FUNCIÓN ES PARALELA AL
EJE “X” DONDE LA PENDIENTE DE LA
TANGENTE ES NULA.
ISACC BARROW, POR MEDIO DEL TRIANGULO CARACTERIZO QUE LA HIPOTENUSA ES UN ARCO INFINITESIMAL DE
CURVA Y SU CATETOS SON INCREMENTOS INFINITESIMALEN EN QUE DIFIEREN LAS
ABSISAS Y LAS ORDENADAS DE LOS EXTREMOS
DEL ARCO.
NEWTON: CONSIBIO EL MÉTODO DE LAS FLUXIONES CONSIDERANDO A
LA CURVA COMO LA TRAYECTORIA DE UN PUNTO QUE FLUYE, FUE EL PRIMERO EN DESCUBRIR
Y DESARROLLAR EL MÉTODO DE FLUXIONES ENTRE 1666 Y 1669.
Ø DESARROLLÓ
SU PROPIO MÉTODO PARA EL CÁLCULO DE TANGENTES.
Ø EN 1665 ENCONTRÓ UN ALGORITMO PARA DERIVAR
FUNCIONES ALGEBRAICAS QUE COINCIDÍA CON EL DESCUBIERTO CON FERMAT.
Ø A FINES DE 1665 SE DEDICÓ A REESTRUCTURAR LAS BASES
DE SU CÁLCULO, INTENTANDO DESLIGARSE DE LOS INFINITESIMALES, E INTRODUJO EL
CONCEPTO DE “FLUXIÓN”, QUE PARA ÉL ERA LA VELOCIDAD CON LA QUE UNA VARIABLE
“FLUYE” CON EL TIEMPO.
Ø EN 1666 FUE EL PRIMERO EN DESARROLLAR MÉTODOS
MATEMÁTICOS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE
ESTA ÍNDOLE.
SIGLO XX Y NUESTROS DIAS
ES IMPORTANTE EL APORTE REALIZADO POR LEBESGUE REFERIDO A LA INTEGRACIÓN Y A LA TEORÍA DE LA
MEDIDA Y LAS MODIFICACIONES Y GENERALIZACIONES REALIZADAS POR MATEMÁTICOS QUE
LO SUCEDIERON.
EN LA CONFERENCIA INTERNACIONAL DE MATEMÁTICOS QUE
TUVO LUGAR EN PARÍS EN 1900, EL MATEMÁTICO ALEMÁN DAVID HILBERT, QUIEN
CONTRIBUYÓ DE FORMA SUSTANCIAL EN CASI TODAS LAS RAMAS DE LA MATEMÁTICA RETOMÓ
VEINTITRÉS PROBLEMAS MATEMÁTICOS QUE ÉL CREÍA PODRÍAN SER LAS METAS DE LA
INVESTIGACIÓN MATEMÁTICA DEL SIGLO QUE RECIÉN COMENZABA.
EL AVANCE ORIGINADO POR LA INVENCIÓN DEL ORDENADOR
O COMPUTADORA DIGITAL PROGRAMABLE DIO UN GRAN IMPULSO A CIERTAS RAMAS DE LA
MATEMÁTICA, COMO EL ANÁLISIS NUMÉRICO Y LAS MATEMÁTICAS FINITAS, Y GENERÓ
NUEVAS ÁREAS DE INVESTIGACIÓN MATEMÁTICA COMO EL ESTUDIO DE LOS ALGORITMOS. SE
CONVIRTIÓ EN UNA PODEROSA HERRAMIENTA EN CAMPOS TAN DIVERSOS COMO LA TEORÍA DE
NÚMEROS, LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Y EL ÁLGEBRA ABSTRACTA. ADEMÁS, EL ORDENADOR
PERMITIÓ ENCONTRAR LA SOLUCIÓN A VARIOS PROBLEMAS MATEMÁTICOS QUE NO SE HABÍAN
PODIDO RESOLVER ANTERIORMENTE.
CONCLUSIONES
EL CÁLCULO ES LA MATEMÁTICA DEL CAMBIO: VELOCIDADES Y
ACELERACIONES, RECTAS TANGENTES, PENDIENTES, ÁREAS, VOLÚMENES, LONGITUDES DE
ARCO, CENTROIDES, CURVATURAS Y OTROS DIVERSOS CONCEPTOS QUE HAN HECHO QUE LOS
CIENTÍFICOS, INGENIEROS Y ECONOMISTAS PUEDAN MODELAR SITUACIONES DE LA VIDA
REAL.
CONCEPCIONES FILOSÓFICAS SOBRE LA REALIDAD, EL
PAPEL DE LA CIENCIA, Y EN ESPECIAL LAS CONCEPCIONES SOBRE LAS CARACTERÍSTICAS
QUE DEBE REUNIR EL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO PARA SER CONSIDERADO COMO
CONOCIMIENTO CIENTÍFICO, DETERMINARON LOS ENFOQUES REALIZADOS EN CADA ÉPOCA. EL
IMPACTO QUE TUVIERON LOS PERSONAJES Y LAS CONTRIBUCIONES CONSIGNADAS EN LA
HISTORIA DIFÍCILMENTE PUEDE SER COMPRENDIDA CABALMENTE SI ESTAS CONSIDERACIONES
NO SE TOMAN EN CUENTA.
POR ESO ES MUY IMPORTANTE TENER EN CUENTA TODAS
ESTAS APORTACIONES YA QUE SIN ELLAS TAL VEZ EN NUESTROS DÍAS AUN NO EXISTIRIA
EL CALCULO DIFERENCIAL ES POR ESO QUE TENEMOS QUE VALORARLO Y APRECIARLO.
OTRAS CONCLUSIONES
v LA HISTORIA DEL CÁLCULO, COMIENZA DESDE QUE COMENZÓ
LA HISTORIA DEL HOMBRE, CUANDO ESTE VIO LA NECESIDAD DE CONTAR.
v HAN SIDO MUCHOS LOS GRANDES MATEMÁTICOS QUE HAN
INFLUIDO EN EL DESARROLLO QUE ACTUALMENTE POSEE EL CALCULO, IGUALMENTE QUE HAN
SIDO MUCHAS LAS CULTURAS QUE HAN INFLUIDO EN SUS AVANCES.
v LAS MATEMÁTICAS, ACTUALMENTE SON LA BASE DE TODAS
LAS CIENCIAS QUE MANEJA EL HOMBRE, DEBIDO A QUE SU CAMPO DE ACCIÓN CUBRE LA
TOTALIDAD DE LOS CONOCIMIENTOS CIENTÍFICOS.
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